onsideiramo un condensatore con
DISEGNO condensatore con le cariche
\begin{equation}
V_0 = E_0 h
\end{equation}
con in campo elettrico
\begin{equation}
E_0 = \frac{\sigma_0}{\epsilon_0}
\end{equation}
se si mette un dielettrico notiamo che il potenziale \`e diminuito di un
fattore 
\begin{equation}
V_k = \frac{V_0}{k}
\end{equation}
e la relazione potenziale e campo elettrico vale ancora
\begin{equation}
E_k = E_k h
\end{equation}

La carica che crea il campo elettrico \`e di
\begin{equation}
E_k = \frac{\sigma_0 - \sigma_p}{\epsilon_0}=
\frac{\sigma_0}{\epsilon_0} \frac{1}{k}
\end{equation}
da cui si ricava che
\begin{equation}
\sigma_p= \frac{k-1}{k} \sigma_0
\end{equation}
la presenza del dielettrico fa si che sia presente ci sia una carica
equivalente che riduce il campo elettrico. Si definisce la
\emph{suscettivit\`a} come
\begin{equation}
\chi = k-1
\end{equation}

Supponiamo di avere una corpo carico 
%{\bf GRAFICO disegno sostanza}
\begin{equation}
V(\vec{r})= \Sigma_i \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}
 \frac{q_i}{abs{\vec{r}-\vec{r}_i}}
\end{equation}
dove
\begin{equation}
abs{\vec{\vec{r}}-\vec{\vec{r}}_i} = \sqrt{(\vec{r} - \vec{r}_i)^2}
=\sqrt{(\vec{r}^2 - 2 \vec{r} \cdot \vec{r}_i^2}
= \left[ 1 - 2 \frac{\vec{r}\cdot \vec{r}_i}{r^2} + \left(
\frac{r_i}{r}\right)^2 \right]^\frac{1}{2}
\end{equation}
e il reciproco
\begin{equation}
\frac{1}{abs{\vec{\vec{r}}-\vec{\vec{r}}_i}} = \frac{1}{r} \left( 1 -
\frac{r \cdot r_i}{r^2} \right)^{-1} = \frac{1}{r} \left[ 1 + \frac{r
  \cdot r_i}{r^2} + \Theta\left( \left( \frac{r_i}{r} \right)^2 \right) \right]
\end{equation}
ottenendo che il potenziale
\begin{equation}
V(\vec{r}) = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_0 r} + \frac{\vec{r} \cdot \vec{p}}{
  4 \pi \epsilon_0 r^3} + \ldots
\end{equation}
il potenziale \`e dato dalla carica al centro pi\`u un contributo dato
dalla presenza del dielettrico. In se $\vec{r}$ cambia ma viene
compensato dalla variazione inversa di $- \vec{r}$. Il primo membro
\`e il contributo delle cariche, mentre il secondo termine \`e dato
dal contributo dal momento di dipolo.

Ricordiamo che
\begin{equation}
Q = \sum_i q_i
\end{equation}

Cosideriamo l'approsimazione in cui le cariche sono una distribuzione
continua invece che la situazione reale in cui le cariche sono
quantizzate.
Sulle dimensione dell'ordine $10^{-7} \ m$ si pu\`o definire la
\emph{densit\`a di carica}
\begin{equation}
Q  \rightarrow \rho(\vec{r}_i) \, d^3\!r
\end{equation}
e posso anche introdurre la \emph{polarizzazione}
\begin{equation}
\vec{p} \rightarrow \vec{P}(\vec{r}) \, d^3\!r=
\end{equation}
e il potenziale diventa
\begin{equation}
dV(\vec{r}) = \frac{\rho(\vec{r}_i) \, d^3\!r'}{4 \pi \epsilon_0
  \abs{\vec{r} - \vec{r}'}} + \frac{(\vec{r} - \vec{r}')}{\abs{\vec{r}
  - \vec{r}'}^3} \cdot \frac{\vec{P}(\vec{r}')}{4 \pi \epsilon_0}
\end{equation}
e integrando
\begin{equation}
V(\vec{r}) = \int_V \frac{d^3\!r'}{4 \pi \epsilon_0}
  \left[\frac{\rho(\vec{r}_i)}{\abs{\vec{r} - \vec{r}'}} +
      \frac{(\vec{r} - \vec{r}') \cdot (\vec{r} -
  \vec{r}'}{\abs{\vec{r}-\vec{r}'}^3} \right]
\end{equation}

vale anche
\begin{equation}
\vec{\nabla}\frac{1}{r} = - \frac{\vec{r}}{r^3}
\end{equation}
dove 
\begin{equation}
\vec{\nabla}' \frac{1}{\abs{\vec{r} - \vec{r}'}} = \vec{\vec{r} -
  \vec{r}'}{\abs{\vec{r} - \vec{r}'}^3}
\end{equation}
allora l'integrale si traduce in
\begin{equation}
=> \int d^3r' \frac{\rho(\vec{r}')}{4 \pi \epsilon_0 \abs{\vec{r} -
    \vec{r}'}} + \int d^3\!r' \frac{\vec{P}(\vec{r}')}{4 \pi
    \epsilon_0}  \vec{\nabla} \frac{1}{\abs{\vec{r} - \vec{r}'}}
\end{equation}
utilizzando la legge di Gauss
\begin{equation}
=> \int_V d^3\!r' \vec{\nabla}' \cdot (\vec{A}\cdot F) - \vec{V} F
\cdot \vec{\nabla}' \vec{A} d^3\!r'= \oint d\Sigma \hat{n}(\vec{r}')
\cdot \vec{A}(\vec{r}') F(\vec{r}')
\end{equation}
non so dove!?!
\begin{equation}
=> \int_V \frac{d^3\!r'}{4 \pi \epsilon_0}\frac{\rho(\vec{r}') -
  \vec{\nabla} \cdot \vec{P}(\vec{r}')}{\abs{\vec{r} - \vec{r}}} -
  \oint \frac{d\Sigma}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\hat{n}(\vec{r}')
\cdot P(\vec{r}')}{\abs{\vec{r} - \vec{r}}}
\end{equation}
\`e tutto come fosse che i contrbuti da una carica spaziale pi\`u una
carica di superfice
e risulta
\begin{equation}
\rho_p(\vec{r}') = - \vec{\nabla} \cdot \vec{P}(\vec{r}')
\end{equation}
\begin{equation}
\sigma_p (\vec{r}') = \vec{P}(\vec{r}') \cdot \hat{n}(\vec{r}')
\end{equation}

Piccola spiegazione dei passaggi:
\begin{equation}
\vec{A}(\vec{r}') \cdot \vec{\nabla} \cdot F(\vec{r}')= \sum_\mu A_\mu
\frac{\parial}{\partial x_\mu'} F(\vec{r}') = \sum_\mu \left[
  frac{\parial}{\partial x_\mu'} \left( A_mu F(\vec{r}') \right) - F
  frac{\parial}{\partial x_\mu'} A_mu \left] = \vec{\nabla}(\vec{A}F)
- F \cdot \vec{\nabla} A
\end{equation}
fine spiegaine

si ricava dalle formule sopra
\begin{equation}
V(\vec{r}') = \int d^3\!r' \vec{P}(\vec{r}') \cdot \vec{\nabla}
\frac{1}{\abs{\vec{r} - \vec{r}'}} = \int d^3\!r' \right[
  \vec{\nabla}' \left(\vec{P} \frac{1}{\abs{\vec{r} - \vec{r}'}}
  \left) - \frac{1}{\abs{\vec{r} - \vec{r}'}} \vec{\nabla} \cdot
  \vec{P} \right]
\end{equation}
come visto nelle formule precedenti.

Definiamo il flusso come
\begin{equation}
\Phi_S (\E)= \int_S ds \hat{n}_s \cdot \vec{E}(\vec{r}) = \int_{V_s}
d^3\!r \vec{\nambla} \cdot \vec{E}(\vec{r}) = - \int_{V_s} d^3\!r
\nabla^2 V(\vec{r})
\end{equation}
e ricordando che
\begin{equation}
\nabla^2 \frac{1}{\abs{\vec{r}-\vec{r}'}} = - 4 \pi \delta^3
(\vec{r}-\vec{r}')
\end{equation}
si ricava che il flusso vale
\begin{equation}
=> \int_{V_s} \frac{d^3\!r}{4 \pi \epsilon_0} \right[ \int_V d^3\!r'
  \right( \rho(\vec{r}') + \rho_p (\vec{r}')\left) (-4 \pi)\delta^3
  (\vec{r}-\vec{r}') + \oint_\Sigma d\Sigma \sigma_p(\vec{r}') (- 4
  \pi) \delta^3(\vec{r}-\vec{r}')\right]
\end{equation}
e risulta che
\begin{equation}
\Phi_s(\vec{E}) = \int_V \frac{d^3\!r'}{\epsilon_0} \left(
\rho(\vec{r}') + \rho(\vec{r}') \right) + \int \frac{d\Sigma}{\epsilon_0}
\sigma_p(\vec{r}')=\int_V \frac{d^3\!r'}{\epsilon_0} \rho(\vec{r}')
\end{equation}
dato che i due contributi della carica si elidono
\begin{equation}
-\int_V \frac{d^3\!r}{\epsilon_0} \rho_p(\vec{r}')= \int
\frac{d\Sigma}{\epsilon_0} \sigma_p(\vec{r}')
% non ne sono certo, controllare!
\end{equation}'
cio\'e vale il teorema di Gauus

Adesso consideriamo una superfice interna
\begin{equation}
perso! forse\\
\Phi_s(\vec{E})= \int_V \frac{d^3\!r'}{\epsilon_0} \left[ \rho(\vec{r}') +
  \rho_p(\vec{r}') \right] \delta^3(\vec{r}-\vec{r}') + \oint_\Sigma
d\Sigma \sigma_p(\vec{r}) \delta(\vec{r}-\vec{r}')
\end{equation}

\begin{equation}
\int_{V_s} \d^3\!r \delta^3(\vec{r} - \vec{r}') = \{
0 se \vec{r}' \in V-V_s\\
1 se \vec{r}' \in V_s\\
\end{equation}

l'integrale in $d\Sigma$ \`e sempre nullo, all'interno i contributi si
elidono, e si ha che
\begin{equation}
\Phi_s(\vec{E})= \int_V d^3\!r' \left[ \rho(\vec{r}') +
  \rho_p(\vec{r}') \right]
\end{equation}
cio\'e dipende solamente dalla densit\`a di carica e non dalla carica
di superfice.

{\it Non so che centra}
\begin{equation}
\rho(\vec{r}) = \sum_i q_i \, \delta^3(\vec{r}-\vec{r}')
\end{equation}

l'integrale si riduce in
\begin{equation}
 \int_{{\mathcal R}^3} \frac{d^3\!r'}{\epsilon_0} \left[ \rho(\vec{r}') +
   \rho_p(\vec{r}') \right] \delta^3(\vec{r}-\vec{r}')= \frac{Q}{\epsilon_0}(V_s)
\end{equation}

\begin{equation}
\oint_\Sigma d\Sigma \sigma_p(\vec{r}) \delta(\vec{r}-\vec{r}') =
\int_{\Sigma_s} d\Sigma \frac{\rho_p (\vec{r}')}{\epsilon'}
\end{equation}
dove $\Sigma_s$ \`e la supefice all'interno dell'elemento.

dove tutto si riduce a
\begin{equation}
\Phi_S(\vec{E}) = \frac{Q}{\epsilon_0} - \int_{S_\Sigma}
\frac{\vec{P}\cdot\hat{n}{\epsilon_0} d\Sigma
\end{equation}

\begin{equation}
\end{equation}
\begin{equation}
\end{equation}
\begin{equation}
\end{equation}
